เมตริก

เราแบ่งเมตริกออกเป็นแบบๆ ตามจำนวนแถว และจำนวนสดมภ์ของสมาชิก เช่น
             ตัวอย่างที่ 1  (2 0)  เป็นเมตริกที่มีหนึ่งแถวสองสดมภ์ เราเรียกว่า เมตริก 1 x 2
             ตัวอย่างที่ 2  (2 3)  เป็นเมตริกที่มีสองแถวหนึ่งสดมภ์ เราเรียกว่า เมตริก 2x1
             ตัวอย่างที่ 3  (2 1)  เป็นเมตริกที่มีสองแถวสองสดมภ์ เราเรียกว่า เมตริก 2x2
             ตัวอย่างที่ 4  (1 2  3)  เป็นเมตริกที่มีสองแถวสามสดมภ์ เราเรียกว่า เมตริก 2x3
          ดังนั้นเมตริกที่มี m แถว n สดมภ์ เราเรียกว่าเมตริก m x n เมตริก m x n ใดๆ เป็นเมตริกแบบเดียวกันทั้งสิ้น เช่น
             (2 0) และ (1 3) เป็นเมตริกแบบเดียวกัน
             แต่ (2 0) กับ (2 0) ไม่เป็นเมตริกแบบเดียวกัน
             เมตริกใดที่มีสมาชิกเป็นศูนย์ทุกตัว เราเรีบกว่า เมตริกศูนย์ เช่น (0  0  0)
             เมตริกที่มีจำนวนแถวเท่ากับจำนวนสดมภ์ เราเรียกว่า เมตริกจัตุรัส เช่น (2  1)  (1 3  1)
             สำหรับเมตริกจัตุรัสที่มีรูปแบบ เช่น (1 0) (1 0 0)  เป็นเมตริกจตุรัสที่มีสมาชิกทุกตัว
         ในตำแหน่งตามเส้นทแยงมุม จากบนซ้ายล่างขวาเป็น 1 และสมาชิกในตำแหน่งอื่นๆ เป็น 0 หมด เราเรียกว่า เมตริกเอกลักษณ์ ถ้ามีสองเมตริกที่เป็นแบบเดียวกัน และสมาชิกที่อยู่ในตำแหน่งเดียวกันเท่ากัน เรากล่าวว่า เมตริกทั้งสองนั้นเท่ากัน
          ดังนั้น ถ้า (a b) = (1 2) จะได้ a = 1 และ b = 2 และถ้ามี เมตริก (จำนวนเสื้อ จำนวนกางเกง) และ (5 3) เท่ากัน เราเขียน (จำนวนเสื้อ จำนวนกางเกง) = (5 3)
         นั่นคือ จำนวนเสื้อ = 5 จำนวนกางเกง = 3
         ตัวอย่างอื่น เช่น (ก ข ค)  = (40 38 37)
         เมื่อ ก ข ค แทนจำนวนนักเรียนในห้อง ก ข ค ตามลำดับ หมายความว่า
              ห้อง ก มีนักเรียน 40 คน
              ห้อง ข มีนักเรียน 38 คน
              ห้อง ค มีนักเรียน 37 คน
         เรานิยมใช้ตัวอักษรตัวพิมพ์ใหญ่ A, B,... แทนเมตริก m x n ใดๆ และใช้ตัวอักษรตัวเล็ก a_{i j}, b_ij... แทนสมาชิกใดๆ ของเมตริก A, B,... ตามลำดับเช่น
         A  คือ เมตริก m x n หมายความว่า A เป็นเมตริกที่มี m แถว และ n สดมภ์ แสดงรายละเอียดของสมาชิก ได้ดังนี้
         a₁₁ เป็นสมาชิกของ A ซึ่งอยู่ในแถวที่ 1 สดมภ์ที่ 1
         a₂₃ เป็นสมาชิกของ A ซึ่งอยู่ในแถวที่ 2 สดมภ์ที่ 3
         a_{i j} เป็นสมาชิกของ A ซึ่งอยู่ในแถวที่ i สดมภ์ที่ j
         แล้วเขียนย่อๆ ดังนี้ A = (a_{i j}) m x n หรือ (a_{i j})^m_n
         โดยเป็นที่เข้าใจกันว่า  i = 1, 2, ..., m
                                             j = 1, 2, ..., n
              ถ้า A = (a_{i j}) 2x3 หมายความว่า A = (a11 a12  a13)
              ถ้า B = (b_{i j}) 1x2 หมายความว่า B =  (b₁₁ b₁₂)
              ถ้า C = (c_{i j}) 2x1 หมายความว่า C = (c11 c21)

         ในเมตริกจัตุรัส A = (a_{i j})n x n
              ถ้า    a_{i j} = 1 เมื่อ i = j
             และ  a_{i j}  = 0 เมื่อ i   j
         A เป็นเมตริกเอกลักษณ์ เขียนแทนด้วย I_n หรือ I เช่น
                    I    =  (1 0)
                 a₁₁    =  1, a₂₂  = 1
                 a₁₂    =  0, a₂₁  = 0
        นอกจากนี้ยังมีเมตริกลักษณะพิเศษอื่นๆ ที่มิได้กล่าวไว้ ณ ที่นี้อีกมาก

         ทุกคนคงสังเกตได้ว่าในการศึกษาเกี่ยวกับอะไรก็ตาม เริ่มต้นเราจะทำความรู้จักกับสิ่งนั้นก่อน แล้วขั้นต่อไปก็ต้องพยายามหาประโยชน์จากสิ่งนั้น หรือนำไปใช้ ในการที่จะนำไปใช้ก็ต้องมีวิธีการ กฎเกณฑ์หรือข้อตกลงต่างๆ เช่น ในการศึกษาเลขคณิต เป็นต้น เรารู้จักชนิดของจำนวนต่างๆ และถ้าจะนำไปใช้ให้เกิดประโยชน์กว้างขวางก็ต้องมีการดำเนินการ (operations) ระหว่างจำนวนเหล่านั้นซึ่งได้แก่การบวก ลบ คูณ หาร ฯลฯ เป็นต้น สำหรับเมตริกก็เช่นเดียวกัน เราก็มีการดำเนินการระหว่างเมตริกต่างๆ ดังจะกล่าวต่อไปนี้

อ้างอิงจาก    http://guru.sanook.com/encyclopedia/เมตริก/

พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า

          รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าเป็นรูปที่มีด้านเท่ากันทุกด้าน และมุมภายในเท่ากันทุกมุม รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า เป็นรูปที่มีจำนวนด้านน้อยที่สุด เราสามารถบรรจุรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าลงในวงกลมได้เสมอ รูปหกเหลี่ยมด้านเท่าเป็นรูปที่สร้างได้ง่ายที่สุด ใช้วงเวียนเขียนวงกลมรัศมีตามต้องการเลือกจุดใดจุดหนึ่งบนเส้นรอบวงเป็นจุดศูนย์กลาง เขียนส่วนโค้งของวงกลมให้มีรัศมีเท่าวงกลมเดิมตัดเส้นรอบวงของวงกลม ทำเช่นนี้เรื่อยไปจะได้จุดตัดบนเส้นรอบวง 6 จุดพอดี จุดทั้ง 6 นี้จะเป็นจุดมุมยอดของรูปหกเหลี่ยมด้านเท่า มีความยาวของแต่ละด้านเท่ากับรัศมีวงกลมนั้น
          ชาวกรีกในสมัยโบราณได้รู้วิธีสร้างรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าที่มีจำนวนด้านเป็น 3, 4, 5, 6, 8, 10 และ 15 โดยการใช้เพียงไม้บรรทัด (ซึ่งไม่มีการแบ่งสเกล) และวงเวียนเท่านั้น ในปี ค.ศ. 1796  เกาส์ ได้พบว่าเราจะสร้างรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าโดยใช้แต่เพียงไม้บรรทัดกับวงเวียนเท่านั้นได้ เมื่อจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่านั้น เป็นจำนวนเฉพาะซึ่งอยู่ในแบบ
          n  =  2^2t + 1   เมื่อ  t  เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ  จะเห็นได้ว่า
          ถ้า  t = 1  เราได้  n = 5 ถ้า t = 2  ได้ n = 17 ถ้า t = 3 ได้  n = 257

          ดังนั้นเราจะสร้างรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าด้วยไม้บรรทัดและวงเวียนเท่านั้นเมื่อจำนวนด้านเป็น 5, 17, 257, 65537,...ได้เสมอ แต่เราจะสร้างรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าที่มีจำนวนด้านเป็น 7, 9, 11 และ  13   โดยวิธีนี้ไม่ได้เลย ถ้าให้ a เป็นระยะที่ด้านของรูปหลายเหลี่ยมอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางของวงกลมและ  P เป็นความยาวของเส้นรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยมนั้น  พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าจะเท่ากับ 1/2aP
          สำหรับรูปที่มี n เหลี่ยมด้านเท่าถ้าให้  b แทนความยาวของแต่ละด้านจะได้ P = nb ดังนั้นพื้นที่ของรูป n เหลี่ยมด้านเท่าจะเท่ากับ 1/2nab
          คุณสมบัติที่สำคัญอีกประการหนึ่งของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าก็คือ แต่ละด้านจะปิดมุมที่ศูนย์กลางเท่ากัน  สำหรับรูป n เหลี่ยมด้านเท่าก็จะปิดมุม 2π/nเรเดียนที่ศูนย์กลาง เราอาจแสดงได้ว่าพื้นที่ของรูป n เหลี่ยมด้านเท่าเท่ากับ 1/4 nb² cot π/n

n	3	4	5	6	7	8	9
พื้นที่	0.433b2	0.100b2	1.720 b2	2.598 b2	3.634 b2	4.828 b2	6.182 b2

          ถ้าเราเพิ่มจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าขึ้นเรื่อยๆ ไม่สิ้นสุดก็อาจจะแสดงได้ว่า พื้นที่ของวงกลมเท่ากับ πr² เมื่อ r เป็นรัศมีวงกลม
         ในบรรดารูปเหลี่ยมทั้งหลายนี้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นรูปเหลี่ยมที่เราคุ้นเคยที่สุด บานหน้าต่าง ประตู เสื่อ ผ้าขาวม้า  เตียงนอน หรือแคร่ ฯลฯ  ล้วนมีลักษณะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เมื่อเราขึ้นไปบนที่สูงๆ จะแลเห็นทุ่งนากั้นเป็นกระทงรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เพราะเราสามารถหาขนาดพื้นที่ได้ง่าย ลวดลายต่างๆ  ที่เขาทำบนเสื่อหรือเสื่อน้ำมันก็มักจะเป็นรูปเรขาคณิตของรูปหลายเหลี่ยม ทำให้ดูสวยสดงดงามขึ้น

อ้างอิงจาก   http://guru.sanook.com/encyclopedia/พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า/

ปริมาตรของรูปทรงที่เกิดจากการหมุน

  ปัปปุสได้สร้างทฤษฎีเพื่อใช้หาปริมาตรของรูปทรงที่เกิดจากการหมุนอีก ซึ่งกล่าวว่า เมื่อหมุนรูปที่อยู่ในระนาบ และมีพื้นที่แน่นอนรอบเส้นตรงคงที่ซึ่งอยู่บนระนาบเดียวกัน แต่เส้นตรงคงที่นี้จะต้องไม่ตัดรูปที่ใช้หมุนเลย ปริมาตรของรูปทรงที่ได้จากการหมุนเท่ากับผลคูณของพื้นที่ของรูปที่หมุน และความยาวของเส้นรอบวงกลมซึ่งเกิดจากจุดศูนย์ถ่วงของรูปที่หมุนนั้นหมุนไปรอบเส้นคงที่ เช่น รูปยางในรถยนต์ที่เกิดจากการหมุนวงกลมรัศมี a หน่วย รอบเส้นตรงคงที่ L ซึ่งห่างจากจุดศูนย์กลางเป็นระยะ b หน่วยจะได้ปริมาตรของรูปยางในรถยนต์เท่ากับ πa².2πb = 2π² a²b (b>a) เราอาจใช้ทฤษฎีของปัปปุส หาปริมาตรของรูปทรงที่เกิดจากการหมุนต่างๆ ได้ทั้งหมดเช่นเดียวกับการหาพื้นที่ผิว
          การหาปริมาตรของวัตถุมีทรงนี้ อาจจะใช้หลักทางวิทยาศาสตร์ก็ได้ เช่น หาน้ำมาใส่ให้เต็มภาชนะซึ่งจะเป็นขันหรืออ่างใบใหญ่ก็ได้ กดวัตถุที่ต้องการหาปริมาตรลงในภาชนะนั้นให้จมน้ำ หาภาชนะอื่นๆ มารองน้ำที่ล้นออกมาแล้วนำไปตวงหาปริมาตร ก็จะทราบปริมาตรของวัตถุนั้นทันที เพราะปริมาตรของวัตถุจะเท่ากับปริมาตรของน้ำที่ล้นออกมา วิธีการนี้เหมาะกับวัตถุทุกชนิดที่ไม่ละลายในน้ำไม่ว่าวัตถุนั้นจะมีรูปทรงอย่างไร
          สำหรับปริมาตรของรูปทรงที่เกิดจากการหมุนที่ได้กล่าวมาในหัวข้อก่อนนี้ เป็นรูปทรงเรขาคณิต ซึ่งเราสามารถคำนวณหาปริมาตรได้ตามสูตร เช่น
          ปริมาตรทรงกลม  =  4/3πr³ เมื่อ r เป็นรัศมีของทรงกลม
          ปริมาตรทรงกระบอกตัน  =  πa²h เมื่อ a เป็นรัศมีของฐาน h เป็นความสูงตามแนวดิ่ง
          ปริมาตรทรงกรวยตัน   =   1/3πr²h  เมื่อ r เป็นรัศมีของฐาน h เป็นความสูงตามแนวดิ่ง

          นอกจากนี้ ปริมาตรของรูปทรงที่มีผิวหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าสามารถคำนวณได้จากสูตรต่อไปนี้
          เมื่อความยาวของเส้นขอบ      = 2 m
          ปริมาตรของรูปเตตราเฮดรอน   = 2—2 m³/3
          ปริมาตรของรูปออคตาเฮดรอน   = 8—2 m³/3
          ปริมาตรของรูปอิโคซาเฮดรอน   = 10(3+—5) m³/3
          ปริมาตรของรูปเหลี่ยมลูกบาศก์   = 8 m³
          ปริมาตรของรูปโดเดคาเฮดรอน  = 2 (15 +7 —5) m³

          เราอาจใช้วิชาแคลคูลัสคำนวณหาระยะทาง พื้นที่ และปริมาตรได้ เมื่อเราสามารถแทนเส้นโค้ง เส้นขอบของพื้นที่และผิวพื้นที่ปิดล้อมรูปทรงด้วยสมการทางพีชคณิต และเมื่อเราใช้เครื่องมือคำนวณ เช่น คอมพิวเตอร์ มนุษย์สามารถคำนวณปริมาณต่างๆ เช่น ระยะทางทั้งสิ้นของการเดินทางของยานอวกาศ ปริมาตรและน้ำหนักที่เกี่ยวข้องได้อย่างแม่นยำที่สุด

อ้างอิงจาก http://guru.sanook.com/encyclopedia/ปริมาตรของรูปทรงที่เกิดจากการหมุน/

ตรรกวิทยา

เป็นวิชาเก่าแก่ มีมาตั้งแต่โบราณนานกว่าสองพันปีมาแล้ว อริสโตเติล (Aristortle 384-322 ปี ก่อนคริสต์ศักราช) นักปราชญ์ชาวกรีกได้ชื่อว่าเป็นบิดาของวิชาตรรกวิทยา เพราะเขาเป็นคนแรกที่ศึกษาเรื่องราวต่างๆ แล้วใช้ความคิดอธิบายอย่างมีเหตุและผล มิใช่ตามความเชื่อถือที่รับต่อเนื่องกันลงมาอย่างงมงาย
          บางคนให้นิยามวิชาตรรกวิทยาว่าเป็น "วิชาแห่งการใช้ความคิด" ส่วนบางคนให้นิยามว่าเป็น "วิชาแห่งการให้เหตุผลและผลที่ดี" และบางคนก็ให้นิยามว่าเป็น "วิชาที่ว่าด้วยกฎเกณฑ์การใช้เหตุผล"
          ตรรกวิทยา เป็นวิชาที่เป็นประโยชน์ ช่วยให้คนเราสามารถค้นพบสิ่งที่เป็นความรู้ทั้งหลายทั้งปวงได้ นักวิทยาศาสตร์อาศัยกฎเกณฑ์ของเหตุผลนี้อธิบายปรากฏการณ์ธรรมชาติได้อย่างถูกต้อง นักประดิษฐ์คิดสร้างสิ่งประดิษฐ์ขึ้นได้ก็โดยอาศัยกฎเกณฑ์ของเหตุผลเช่นกัน นายแพทย์สามารถวินิจฉัยโรคของคนไข้ได้ก็ด้วยความคิดที่เป็นเหตุผล และนักปกครองอาจแก้ปัญหาของบ้านเมืองให้ลุล่วงไปได้ด้วยดี ก็เพราะความคิดที่เป็นเหตุผลนี้เอง อาจกล่าวได้ว่าตรรกวิทยาเป็นเครื่องมือสำหรับช่วยแนะแนวทางให้ทุกคนทำงานไปได้ในทางที่ถูกต้อง
          ในปัจจุบัน ได้มีการนำเอาวิชาตรรกวิทยามาใช้ในวิชาคณิตศาสตร์ ทำให้วิชาคณิตศาสตร์ใช้ประโยชน์ได้กว้างขวางยิ่งขึ้นกว่าเดิมมากมาย กลายเป็นเครื่องมือสำคัญสำหรับวิศวกรนำไปใช้ทางเทคโนโลยีซึ่งเป็นสิ่งจำเป็นยิ่งสำหรับมนุษยโลกปัจจุบันวิชาคณิตศาสตร์ที่นำเอาตรรกวิทยาเข้ามาประกอบด้วยนี้เรียกว่า คณิตตรรกวิทยา (Mathematical  Logic)
           เราใช้สัญลักษณ์หลายรูปหลายแบบ แทนคำหรือกลุ่มคำในตรรกวิทยาที่ว่าด้วยสัญลักษณ์ การใช้สัญลักษณ์ ช่วยให้เนื้อหาของวิชานี้ กะทัดรัด เข้าใจง่าย สามารถนำไปใช้ประโยชน์ทางด้านการวิเคราะห์ และวิจัยเรื่องราวต่างๆ ได้อย่างสะดวกและคล่องแคล่วมาก

           ตรรกวิทยา เป็นแขนงหนึ่งของคณิตศาสตร์ว่าด้วยเหตุและผล ที่ได้จากสามัญสำนึกขั้นพื้นฐานของมนุษย์ ซึ่งมีภาษาเป็นเครื่องถ่ายทอดความหมายเพื่อความเข้าใจซึ่งกันและกัน ภาษาที่สำคัญคือ ภาษาพูดและภาษาเขียน ซึ่งสร้างจากคำต่างๆ แล้วรวบรวมขึ้นเป็นกลุ่มคำที่สามารถเข้าใจความหมายได้
           กลุ่มคำที่สร้างขึ้นบางกลุ่มคำ เราบอกได้ว่า เป็นจริง บางกลุ่มคำเราบอกได้ว่า เป็นเท็จ แต่บางกลุ่มคำเราไม่สามารถบอกได้ว่า เป็นจริง หรือ เป็นเท็จ
           พิจารณากลุ่มคำ "แม่น้ำเจ้าพระยาไหลผ่านกรุงเทพมหานคร" กลุ่มคำนี้ให้ความหมายกระจ่างชัดว่า เป็นจริง (เพราะตรงกับความเป็นจริง)
           พิจารณากลุ่มคำ "แม่น้ำเจ้าพระยาไหลผ่านจังหวัดอุดรธานี" กลุ่มคำนี้ให้ความหมายกระจ่างชัดว่า เป็นเท็จ (เพราะไม่ตรงกับความเป็นจริง)
           พิจารณากลุ่มคำ "เขาเป็นนายกรัฐมนตรี" กลุ่มคำนี้ให้ความหมายไม่กระจ่างชัดว่า เป็นจริง หรือ เป็นเท็จ (เราไม่ทราบว่าเขาผู้นี้คือใคร)
           กลุ่มคำที่ให้ความหมายกระจ่างชัดว่า เป็นจริง หรือ เป็นเท็จ แต่เพียงอย่างเดียวนั้น ในทางตรรกวิทยาเรียกกลุ่มคำชนิดนี้ว่า ประพจน์
           กลุ่มคำที่ให้ความหมายกระจ่างชัดว่า เป็นจริง หรือ เป็นเท็จนั้น ในทางตรรกวิทยาถือว่ากลุ่มคำชนิดนี้ไม่เป็น  ประพจน์
           ในชีวิตประจำวัน เรามักพบข้อความซึ่งเปลี่ยนแปลงไปจากข้อความเดิมโดยเติมคำ "ไม่" เพิ่มเข้าไป หรือข้อความซึ่งเชื่อมประพจน์สองประพจน์ ด้วยคำว่า "และ"  "หรือ"  "ถ้า...แล้วจะได้..."  "ก็ต่อเมื่อ" คำหรือข้อความเหล่านี้เรียกว่าเป็น ตัวเชื่อม เราจะกล่าวถึงตัวเชื่อมที่สำคัญทั้ง 5 อย่างละเอียดต่อไป
           พิจารณาประพจน์สองประพจน์นี้  "2 + 3 = 4"  (ประพจน์นี้เป็นเท็จ)
                                                                   "3 เป็นจำนวนคี่"  (ประพจน์นี้เป็นจริง)
          อาจสร้างประพจน์ขึ้นใหม่ได้ (ซึ่งอาจเป็น จริง หรือ เท็จ) ดังนี้

                "3 ไม่ เป็นจำนวนคี่"
                "2 + 3 = 4 และ  3 เป็นจำนวนคี่"
                "2 + 3 = 4 หรือ  3 เป็นจำนวนคี่"
                "ถ้า 2 + 3 = 4 แล้วจะได้  3 เป็นจำนวนคี่"
                "2 + 3 = 4 ก็ต่อเมื่อ  3 เป็นจำนวนคี่"
          เพื่อความสะดวกและความรวดเร็วในการเขียนและการนำไปใช้
               ประพจน์  "2 + 3 = 4"                  เขียนแทนด้วย  ก
               ประพจน์  "3 เป็นจำนวนคี่"         เขียนแทนด้วย  ข
               ตัวเชื่อม  "ไม่"                              เขียนด้วย     ~
               ตัวเชื่อม  "และ"                            เขียนแทนด้วย ^
               ตัวเชื่อม  "หรือ"                           เขียนแทนด้วย v
               ตัวเชื่อม  "ถ้า...แล้วจะได้..."         เขียนแทนด้วย →
               ตัวเชี่อม  "ก็ต่อเมื่อ"                      เขียนแทนด้วย ⇔
          จะเห็นว่า
             ~  ข     เขียนแทนประพจน์  "3  ไม่เป็นจำนวนคี่"
             ก ^ ข   เขียนแทนประพจน์  "2 + 3 = 4 และ 3 เป็นจำนวนคี่"
             ก v ข   เขียนแทนประพจน์ "2 + 3 = 4 หรือ 3 เป็นจำนวนคี่"
             ก  →  ข   เขียนแทนประพจน์  "ถ้า 2 + 3 = 4 แล้วจะได้ 3 เป็นจำนวนคี่"
             ก  ⇔  ข   เขียนแทนประพจน์  "2 + 3 = 4  ก็ต่อเมื่อ 3 เป็นจำนวนคี่"

           เราทราบแล้วว่า ประพจน์ในตรรกวิทยาแต่ละประพจน์นั้น เป็นจริงหรือเป็นเท็จแต่เพียงอย่างใดอย่างหนึ่ง กรณีของความเป็นจริงหรือความเป็นเท็จ ที่จะเกิดขึ้นได้ มีดังนี้
           ถ้ามีประพจน์เดียว คือ ประพจน์ ก จะมีกรณีที่เกิดขึ้นได้แตกต่างกัน 2 กรณี  คือ
           กรณีที่  1  ประพจน์  ก  เป็นจริง
           กรณีที่  2  ประพจน์  ก  เป็นเท็จ

           ถ้ามีสองประพจน์คือ  ก,ข เชื่อมกันด้วยตัวเชื่อมต่างๆ จะมีกรณีเกิดขึ้นได้แตกต่างกัน 4 กรณี คือ
           กรณีที่  1  ประพจน์  ก  เป็นจริง  ประพจน์  ข  เป็นจริง
           กรณีที่  2  ประพจน์  ก  เป็นจริง  ประพจน์  ข  เป็นเท็จ
           กรณีที่  3  ประพจน์  ก  เป็นเท็จ  ประพจน์  ข  เป็นจริง
           กรณีที่  4  ประพจน์  ก  เป็นเท็จ  ประพจน์  ข  เป็นเท็จ

          ถ้ามีสามประพจน์ คือ ก,ข,ค เชื่อมกันด้วยตัวเชื่อมต่างๆ จะมีกรณีที่เกิดขึ้นได้แตกต่างกัน 8 (หรือเขียนได้ว่า 2³) กรณี  คือ
          กรณีที่  1  ประพจน์  ก  เป็นจริง  ประพจน์  ข  เป็นจริง  ประพจน์  ค  เป็นจริง
          กรณีที่  2  ประพจน์  ก  เป็นจริง  ประพจน์  ข  เป็นจริง  ประพจน์  ค  เป็นเท็จ
          กรณีที่  3  ประพจน์  ก  เป็นจริง  ประพจน์  ข  เป็นเท็จ  ประพจน์  ค  เป็นจริง
          กรณีที่  4  ประพจน์  ก  เป็นจริง  ประพจน์  ข  เป็นเท็จ  ประพจน์  ค  เป็นเท็จ
          กรณีที่  5  ประพจน์  ก  เป็นเท็จ  ประพจน์  ข  เป็นจริง  ประพจน์  ค  เป็นจริง
          กรณีที่  6  ประพจน์  ก  เป็นเท็จ  ประพจน์  ข  เป็นจริง  ประพจน์  ค  เป็นเท็จ
          กรณีที่  7  ประพจน์  ก  เป็นเท็จ  ประพจน์  ข  เป็นเท็จ  ประพจน์  ค  เป็นจริง
          กรณีที่  8  ประพจน์  ก  เป็นเท็จ  ประพจน์  ข  เป็นเท็จ  ประพจน์  ค  เป็นเท็จ

         ถ้ามีสี่ประพจน์ เช่น ก,ข,ค,ง เชื่อมกัน จะมีกรณีเกิดแตกต่างกันได้ 2⁴ กรณี
         ถ้ามีห้าประพจน์ เช่น ก,ข,ค,ง,จ เชื่อมกัน จะมีกรณีที่เกิดแตกต่างกันได้  2⁵
         กรณี ถ้ามีประพจน์เชื่อมกัน จะมีกรณีแตกต่างกันได้  2ⁿ

อ้างอิงจาก  http://guru.sanook.com/encyclopedia/ตรรกวิทยา/

การบวกเมตริก

          เมตริกสองเมตริกที่เป็นเมตริกแบบเดียวกันซึ่งมีจำนวนแถวเท่ากันคือ m และจำนวนสดมภ์เท่ากันคือ n จะบวกเข้าด้วยกันได้ และได้ผลบวกเป็นเมตริกที่มี m แถว และ n สดมภ์เช่นเดียวกัน กล่าวคือ

                                    ถ้า        A = (aij)m x n

                                                B = (bij)m x n

                  จะได้ว่า    A + B = C = (cij)m x n

                                    โดย    cij = aij + bij

                  ซึ่งจะเห็นได้ชัดเจนจากตัวอย่างต่อไปนี้
                                    ถ้า A    = (0  1     2)
                                                     5  2    -3

                                    และ B  = (1  1    -2)
                                                     4  0     0

                  จะหาเมตริกผลบวก A + B ได้โดย

                                    A + B  = ( 0 + 1  1  +  1   2  + (-2) )
                                                     5 + 4  2  +  0  -3  +  0  

                                               = ( 1  2    0 )
                                                     9  2  -3

         การบวกเมตริกมีคุณสมบัติเช่นเดียวกับคุณสมบัติของการบวกจำนวน กล่าวคือ ถ้า A,B,C เป็นเมตริก m x n จะได้ว่า

                                    ( 1 )   A + B = B + A           กฎการสลับที่
                                    ( 2 )   ( A + B ) + C = A + ( B + C )         กฎการจัดหมู่
                                    ( 3 )   ถ้า Z  เป็นเมตริกศูนย์ m x n จะได้ว่า
                                              Z + A = A + Z = A                         
                 
          เมตริกศูนย์เป็นเอกลักษณ์สำหรับการบวกเมตริก อาจจะใช้ 0 แทนเมตริกศูนย์ก็ได้

อ้างอิงจาก  http://guru.sanook.com/encyclopedia/การบวกเมตริก/

ระยะตัดแกน (Intercept)

ถ้าเราลากเส้นตรงออกไปยาวๆ แน่นอนว่ามันจะต้องไปตัดแกน x กับ y ที่ซักจุดแน่ๆเลยค่ะ

ระยะตัดแกน x หมายถึง เส้นตรงตัดผ่านแกน x และแน่นอนว่า y=0
ระยะตัดแกน y หมายถึง เส้นตรงตัดผ่านแกน y และแน่นอนด้วยว่า x=0

     เช่น ให้หาจุด P และ Q ซึ่งเป็น x-intercept และ y-intercept ตามลำดับ ของเส้นตรง y = 2x-10

เริ่มที่ จุด P ซึ่งเป็น x-intercept กันก่อน เห็น y ตรงไหนแทนเข้าไปเป็น 0 ได้เลยค่ะ

0=2x-10, x=5 ดังนั้นจะได้ P(5,0)

        สำหรับจุด Q ซึ่งเป็น y-intercept ตอนนี้เห็น x ตรงไหนแทน 0 เข้าไปบ้าง จะได้ y = -10 ดังนั้นเราจะได้ Q(0, -10)

                                               ระยะห่างระหว่างจุดกับเส้นตรง 

                                             

จากรูป จะหาระยะ d ได้จาก, 

                                       ระยะห่างระหว่างเส้นตรง 2 เส้นที่ขนานกัน  

                                 

                                                      

ทำได้ดังนี้
1. ให้จัดทั้ง 2 สมการเส้นตรงให้อยู่ในรูป Ax+By+C = 0
2. เช็คว่าค่า A และ B ของทั้งสองสมการเหมือนกันหรือไม่ 

3. ถ้าเหมือนกันเป๊ะๆ แล้วจะหาระยะระหว่างทั้งสองเส้นนี้, d, ได้จาก                  

อ้างมาจาก      http://www.scimath.org/socialnetwork/groups/viewgroup/80

ความรู้พื้นฐาน(ต่อ): เส้นตรง

                                 สมมติมีเส้นตรงต่อเชื่อมจุด P(x₁, y₁) และ Q(x₂, y₂) ดังรูปต่อไปนี้

การหาความชันของเส้นตรง 

จากรูป จะได้ความชันของเส้นตรง,         

         หรือถ้านักเรียนเห็นสมการเส้นตรงแบบที่หน้า y ไม่มีตัวเลข (สัมประสิทธิ์เป็น 1)  ลองจัดสมการให้ y เป็นพระเอกอยู่ด้านซ้ายมือตัวเดียว  ด้านขวาก็จะหาความชันจากตัวเลขหน้า x ได้ทันที เช่น     2x+y = 3     จะได้ว่า     y = -2x+3
ดังนั้นความชันเท่ากับ -2 

m เป็น + ถ้าเส้นตรงทำมุมแหลมกับแกน x
m เป็น 0 ถ้าเส้นตรงขนานกับแกน x
m เป็น -  ถ้าเส้นตรงทำมุมป้านกับแกน x
แต่จะหาค่า m ไม่ได้ถ้าเส้นตรงขนานกับแกน y (ตัวส่วน , ไม่นิยามจ้า)
ถ้ามีเส้นตรง 2 เส้นตั้งฉากกัน จับเอาความชันของมันมาคูณกัน จะได้ -1 เสมอ

 การสร้างสมการเส้นตรง 

           สมการเส้นตรง ก็คือ สมการที่เมื่อแทนค่าคู่อันดับ (x, y) หลายๆ จุดแล้ว นำไป plot กราฟในระบบพิกัดฉาก จะได้การเรียงตัวของจุดเหล่านี้เป็นเส้นตรง 

         เราจะสร้างสมการเส้นตรงโดยติดค่า x และ y ไว้ในสมการ เช่น 2x+y = 3 โดยกำลังของทั้ง x และ y เป็นกำลังหนึ่งนะคะ

1. เมื่อรู้ความชัน และ 1 จุดผ่าน สร้างได้ง่ายดาย

สมมติ m=2 และ A(3, 5) 

จาก   

 จะได้ 

     จัดสมการแล้ว สุดท้ายจะได้สมการเส้นตรงนี้คือ y = 2x-1

      2. ถ้ารู้จุดบนเส้นตรง 2 จุด ก็หาความชันก่อน แล้วทำแบบข้อ 1. 
              ตอนหาความชันคำนวณจากทั้งสองจุดแต่พอแทนค่าในสมการเลือกเอาจุดใดจุดหนึ่ง จุดเดียวพอ เพื่อจะได้มี x, y ค้างอยู่ในสมการเส้นตรงนะคะ

อ้างมาจาก      http://www.scimath.org/socialnetwork/groups/viewgroup/80